1=1×1
121=11×11
12321=111×111
1234321=1111×1111
...

2121=21×101
3838=38×101
9393=93×101
قانون: هر عددي در 101 ضرب شود در حاصل دوبار تكرار مي شود

ویژگیهای جبری

 

خواص خوش ترتیبی

اعداد صحیح یک مجموعه مرتب است که دارای کران بالا و کران پایین نیست. 

تعریف:

مقسوم علیه های مشترک میان دو عددa وb، اعدادی هستند که بتوانند هم a و هم b را بشمارند به عبارت ریاضی: اگر c مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b باشد، آنگاه c|a و c|b .
مثلا مقسوم علیه های دو عدد 15 و30 را داریم:
{15={1,3,5,15}
30={1,2,3,5,6,10,15,30}
مقسوم علیه های مشترک میان این دو عدد عبارتند از:
مقسوم علیه های مشترک:{1,3,5,15}
بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد، عددی است که نسبت به تمام مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد، بزرگترین باشد. به عبارت ریاضی: اگر d بزرگترین مقسوم علیه باشد، d|a و d|b و dبزرگتر از c باشد.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان این دو عدد ، 15 است. که آن را به این صورت نمایش می دهند:
(15,30)=15
بزرگترین مقسوم علیه میان دو عدد را به اختصار به صورت " ب.م.م " می نویسند.
اگر ب.م.م دو عدد یک باشند ، آنگاه این دو عدد نسبت به هم اولند.مثلا دو عدد 13 و 8 هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک ندارند.

قضایای مربوط به بزرگترین مقسوم علیه مشترک:

قضیه1) این قضیه به قضیه بزو نیز معروف است. مطابق این قضیه مجموعه زیر مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد a وb هستند:
S={m,n ε Z| am+bn>0}
نتیجه ای که از این قضیه می توان گرفت آن است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد aو b مطابق فرمول زیر است:
Am+bn=d.
قضیه 2) d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است اگر و فقط اگر :
الف) d|a و d|b و ب) اگر c|a و c|b آنگاه c|d.

قضیه 3) اگر a|bc و (a,b)=1 یعنی نسبت به هم اول باشند، آنگاه a|c . این قضیه به لِم اقلیدوس نیز معروف است.
قضیه4) اگر P|ab (P یک عدد اول است)، آنگاه P|a یا P|b .
قضیه5) اگر c کوچکترین مضرب مشترک و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a وb باشد آنگاه داریم:
Then: d*c=ab

لم های مربوط به بزرگترین مقسوم علیه های مشترک:

لم 1) بر اساس اصول بنیادی حساب، هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. ب.م.م میان دو عدد برابر با حاصلضرب اعداد اول مشترک میان آن دو عدد به توان عدد کمتر.
لم 2) ب.م.م دو عدد، هر مقسوم علیه مشترک میان دو عدد را می شمارد: 

لم 3) اگر  آنگاه : 
لم 4) اگر
a|c & b|c , (a,b)=1 ===> ab|c


لم 5) اگر آنگاه 
 
مثال مربوط به بزرگترین مقسوم علیه مشترک :

مثال1) اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید که 24حاصلضرب سه عدد متوالی قبل و بعد از n را می شمرد:
24|(n-1)n(n+1)
جواب:
عدد سه، حاصلضرب سه عدد متوالی را می شمرد( اثبات آن به عهده خواننده است. راهنمایی : هر عددی را می توان به صورت :
A=3q+r 0≤r<3) 

باید ثابت کنیم که حاصلضرب دو عدد زوج متوالی بر 8 تقسیمپذیر است: 
:

then: 
حاصلضرب دو عدد متوالی همواره بر 2 بخش پزیر است.پس: 



then:

then:  

then:


طبق لم 4 داریم: 
 


یک عدد صحیح مثبت است اگر بزرگتر از صفر باشدو منفی است اگر کوچکتر از صفر باشد. صفر عددی تعریف میشود که نه مثبت و نه منفی است.
از خوش ترتیب بودن اعداد صحیح می توان نتایج زیر را بدست آورد:

1.اگر  و  انگاه 

2.اگر و  آنگاه  , و اگر  آنگاه 

....۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹/۰=۱

آیا می توانید اثبات کنید؟

دو اثبات دارد که برای درک یکیش باید با مفهوم بینهایت آشنا باشید.
اثبات اولی:

 

اثبات دمی:ما یه چیزی داریم که به ۱۰ قسمت تقسیمش می کنیم. بعد۹ تاشو بر می داریم و یکی باقی مونده را به ۱۰ قسمت تقسیم می کنیم. اگر این کاررا تا بینهایت انجام بدیم هیچ چیز واسمون نمیمونه که به ۱۰ قسمت تقسیمش کنیم.

حالا که جوابش را فهمیدید نظر بدهید.

تابع عشق تو را ،‌دامنه اي پيدا نيست

يك به يك هست، ولي بهر دلم پوشا نيست

مي هراسم كه چو معكوس نمايم آن را

آشكارا شود آن رابطه كه ، پيدا نيست

راستي ،گر به تو بسيار شوم من نزديك

عشق پاكم ، به كجا ميل نمايد ،‌جانيست

گرتوخواهي كه درآغوش تو من جاگيرم

تابع فردخودت ، زوج نما، پروا نيست

منحني دلت ، از رأس شكسته است ، چه باك

كه مماس دل من هست ، ولي آنجا نيست

رفع ابهام نمودم ، زخم لبهايت

پس سخن ساده بگو ، وقت غم وحاشا نيست

هرچه من ،‌ روي نمودار رخت گرديدم

باز، يك نقطه بحراني آن ، پيدا نيست

من بيچاره ، اسير خم گيسوي توام

 اين چنين تابع بي چون وچرا ، هرجا نيست

از قديم رياضي به دو دسته ي حساب و هندسه تقسيم ميشده در يونان بيشتر رياضيدانان بزرگ به علم هندسه پرداخته اند زيرا در آن زمان كه يوناني ها برده داري ميكردند علومي را كه كاربردي بود تحقير ميكردند زيرا آنها تمام كارها و علوم كاربردي را مختص برده ها مي دانستند و چون فكر ميكردند كه علم هندسه كاربردي ندارد به علم هندسه پرداختند و كشفهاي زيادي را در هندسه به دست آوردند ولي در زمينه ي حساب ضعف هاي زيادي داشتند البته در چند سده ي آخر كه بيشتر دانشمندان به اسكندريه رو آورده بودند كارهاي اندكي در زمينه ي رياضيات محاسبهاي داشتند.يوناني ها حتي نتوانستند راه ساده اي براي عدد نويسي پيشنهاد كنند و عددها را به كمك حروف الفبا مينوشتند.
اما در سده ها و هزاره هاي پيش از دانش يونان مردمي كه در سرزمينهاي ايران، بابل، مصر، چين و جاهاي ديگر زندگي مي كردند از آن جا كه به كاربرد هاي رياضيات نظر داشتند نه تنها در عدد نويسي، كه به طور كلي در زمينه هاي مختلف رياضيات محاسبه اي، بسيار پيشرفته بودند و با عددهاي كوچك و بزرگ كار مي كردند.

بزرگترین عددی که با فقط سه رقم می توانید بنویسید کدام است ؟

 از هیچ کاراکتر و حرفی استفاده نکنید. ( یک تذکر: 999  نیست)

از هر کسی بخواهید بزرگترین عدد سه رقمی را بنویسد، می گوید  999. جواب منطقی است، اما می توانیم عدد بزرگتری بنویسیم.

ممکن است کسی موج مغزی قوی دریافت کنه و به  99  به توان  9  فکر کنه، که به شکل زیر محاسبه میشه:

 99  x 99 x 99 x 99 x 99 x 99 x 99 x 99 x 99 

حتی  9  به توان  99  بهتر است که ما به صورت  ... 9×9×9×9×9  تا  99  دفعه تکرار می شود.

به هر حال، اگر بیشتر فکر کنید جواب صحیح به صورت زیر است:

 9  به توان  9  به توان  9.

اول توانها را حل کنید  (387420489  = 9×9×9×9×9×9×9×9×9). با این کار می توانیم عبارت بالا را به شکل  9  به توان  387420489  ساده کنیم، که جواب آن واقعا بزرگ است.